Irisan Kerucut

Irisan Kerucut

Materi yang kali ini akan kita bahas mengenai irisan kerucut, Apa itu Irisan Kerucut ?

Irisan Kerucut dalam matematika merupakan lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua dimensi, dimana kurva tersebut terbentuk dari irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Terdapat 4 macam irisan kerucut, yaitu lingkaran, parabola, elips serta hiperbola.

DEFINISI

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

• Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran
• Jarak yang sama itu disebut jari-jari/radius (r)

Luas lingkaran = π.r² (r = jari-jari)

Contoh gambar:

Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari 2

Parabola

Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.

• Titik itu disebut fokus/titik api (F)
• Garis tertentu itu disebut garis direktris/garis arah
• Garis yang melalui F dan tegak lurus dengan garis arah disebut sumbu simetri parabola
• Titik potong parabola dengan sumbu simetri disebut puncak parabola
• Tali busur terpendek yang melalui F disebut Latus Rectum → tegak lurus dengan sumbu simetri

Contoh gambar:

Parabola horisontal dengan puncak (0,0), fokus (1, 0), dan garis arah x = –1

Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis arah y = –1

Elips

(1) Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.

• Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Elips merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1

• Titik itu adalah fokus (F), dan garis itu adalah garis arah.
• Ruas garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebut sumbu mayor
• Pusat elips adalah titik tengah F₁ dan F₂
• Ruas garis yang melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips disebut sumbu minor

Luas Elips = π.a.b  (a = ½ panjang horisontal; b = ½ panjang vertikal)

Contoh gambar:

Elips horisontal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), fokus (3, 0), (–3, 0), dan garis arah x = ±25/3

Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), fokus (0,√2), (0, –√2), dan garis arah y = ±2√2/3

Hiperbola

(1) Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap

• Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk elips vertikal)
• Kedua titik tetap itu disebut fokus (F) → jarak antara F₁ dan F₂ adalah 2c

(2) Hiperbola merupakan tempat kedudukan semua titik yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap = e , dimana e > 1

• Titik-titik tertentu itu disebut fokus (F₁ dan F₂)
• Garis yang melalui titik-titik F₁ dan F₂ disebut sumbu transvers (sumbu utama)/ sumbu nyata
• Titik tengah F₁ dan F₂ disebut pusat hiperbola (P)
• Garis yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebut sumbu konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner
• Titik-titik potong hiperbola dan sumbu transvers disebut puncak hiperbola
• Garis yang melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong hiperbola di 2 titik → ruas garis penghubung kedua titik tersebut = Latus Rectum

Contoh gambar:

Hiperbola horisontal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (–2, 0), fokus (√6, 0), (–√6, 0),  dan asimtot y = ± ½√2 x

Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (√2, 0), (–√2, 0), fokus (0, √6), (0, –√6),  dan asimtot y = ± ½√2 x

PERSAMAAN

Perhatikan beberapa Tips berikut ini :

Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:

• Pada persamaan Lingkaran: koefisien x² dan y² sama
• Pada persamaan Parabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x² saja atau y² saja)
• Pada persamaan Elips: koefisien x² dan y² bertanda sama (sama-sama positif atau sama-sama negatif)
• Pada persamaan Hiperbola: koefisien x² dan y² berbeda tanda (salah satu positif, yang lain negatif)

Contoh:

• 3x² + 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Lingkaran
• 3x² + 3y + 6x = 5 → Persamaan Parabola
• 3x² + y² + 6x + y = 5 → Persamaan Elips
• 3x² – 3y² + 6x + y = 5 → Persamaan Hiperbola

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP IRISAN KERUCUT

Dalam mencari kedudukan titik terhadap irisan kerucut dapat menggunakan cara sebagai berikut :

1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 0
2. Masukkan koordinat titik pada persamaan:

→    Jika hasil ruas kiri < 0 → titik berada di dalam irisan kerucut

→    Jika hasil ruas kiri = 0 → titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut

→    Jika hasil ruas kanan > 0 → titik berada di luar irisan kerucut

Contoh:

Tentukanlah kedudukan titik (5, –1) terhadap elips dengan persamaan 3x² + y² + 6x + y = 5?

Penyelesaian :

3x² + y² + 6x + y – 5 = 0

Ruas kiri: 3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5  = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100 > 0, jadi titik (5, –1) berada di luar elips tersebut

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP IRISAN KERUCUT

Dalam mencari kedudukan garis terhadap irisan kerucut dapat digunakan cara berikut ini.

1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = … atau y = …
2. Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut, sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.
3. Hitung nilai Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b² – 4.a.c)

→    Jika D < 0 → garis berada di luar irisan kerucut

→    Jika D = 0 → garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik

→    Jika D > 0 → garis memotong irisan kerucut di 2 titik

Contoh:

Tentukanlah  kedudukan garis x + 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x² + 3y + 6x = 5

Penyelesaian :

Garis: x = 4 – 2y

3(4 – 2y)² + 3y + 6(4 – 2y) – 5 = 0

3(16 – 16y + 4y²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0

48 – 48y + 12y² + 3y + 24 – 12y – 5 = 0

12y² – 57y + 67 = 0

D = b² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33

Karena D > 0 maka garis x + 2y = 4 memotong parabola tersebut

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

dalam hal ini m merupakan gradien.

Persamaan garis singgung pada titik (x₁, y₁)

Dalam menyelesaikan persamaan garis singgung ini selalu gunakanlah  sistem bagi adil, dimana

(…)² menjadi (…).(…)

(…) menjadi ½ (…) + ½ (…)

Pada salah satu (…) titik ke persamaan hasil bagi adil akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui

1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis singgung
2. Jika titik terletak di luar irisan kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polar

Kemudian potongkan garis polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik potong

Selanjutnya masukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut :

Contoh 1:

Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (2, 1)?

Jawab :

(2, 1) terletak pada lingkaran (2² + 1² + 4.2 = 13)

Persamaan bagi adil:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

Masukkan (2, 1) sebagai x₁ dan y₁:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y – 5 = 0 → persamaan garis singgung

Contoh 2:

Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² + 4x = 13 pada titik (4, 1)?

Jawab :

(4, 1) terletak di luar lingkaran (4² + 1² + 4.4 = 33 > 16)

Persamaan bagi adil:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

Masukkan (4, 1) sebagai x₁ dan y₁:

4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 9

6x + y – 1 = 0 → persamaan garis polar

y = 1 – 6x

Substitusikan persamaan garis polar ke dalam persamaan lingkaran:

x² + (1 – 6x)² + 4x – 13 = 0

x² + 1 – 12x + 36x² + 4x – 13 = 0

37x² – 8x – 12 = 0

Selanjutnya gunakan rumus abc untuk mencari akar-akarnya:

Masukkan (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) ke dalam persamaan hasil bagi adil

Materi irisan kerucut ini semoga dapat bermanfaat untuk sobat semua, baca juga materi sebelumnya mengenai notasi sigma atau materi matematika yang lain yang mungkin sedang sobat cari.

irisan Kerucut

Rumus jarak, jarak titik dengan titik dan jarak titik dengan garis, dapat digunakan untuk menentukan persamaan dari kurva-kurva irisan kerucut. Tetapi sebelum menentukan persamaan-persamaan tersebut, kita akan membahas beberapa keluarga kurva yang dihasikan oleh irisan kerucut. Topi ulang tahun merupakan salah satu contoh kerucut yang dapat dijumpai di sekitar kita. Titik pada kerucut disebut titik puncak dan lembaran kertas yang membentuk sisi kerucut disebut selimut kerucut. Sesuai dengan namanya kurva-kurva dalam keluarga irisan kerucut, dapat dihasilkan dengan mengiris suatu kerucut, atau lebih tepatnya, kurva-kurva tersebut merupakan hasil perpotongan suatu bidang dengan kerucut. Apabila bidang tersebut tidak melalui titik puncak, irisannya akan menghasilkan lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut.

Masing-masing irisan kerucut tersebut dapat didefinisikan dalam persamaan jarak titik dengan titik, ataupun jarak titik dengan garis. Misalnya, titik-titik (–4, –2), (4, –2), dan (4, 4) merupakan titik-titik yang berada pada lingkaran yang berpusat di (0, 1) dan berjari-jari 5 satuan. Sehingga, definisi lingkaran adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama (yang disebut jari-jari) terhadap suatu titik tertentu (yang disebut titik pusat).
Contoh lainnya, titik-titik (0, 0), (4, 2) dan (8, 8) yang dilalui oleh suatu parabola memiliki jarak yang sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2. Ilustrasi ini mengarahkan kita ke dalam definisi parabola: parabola adalah himpunan semua titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu (yang disebut titik fokus) dan suatu garis yang diberikan (yang disebut garis direktris).
Contoh : Menemukan Persamaan Parabola
Tentukan persamaan parabola yang memuat semua titik yang berjarak sama terhadap titik (0, 2) dan garis y = –2.

Pembahasan Kita gunakan pasangan berurutan (x, y) untuk merepresentasikan sembarang titik pada parabola. Karena semua titik pada garis y = –2 dapat dituliskan ke dalam (x, –2), maka kita dapat menyatakan bahwa jarak titik (x, y) terhadap (x, –2) sama dengan jarak (x, y) terhadap (0, 2). Dengan menggunakan rumus jarak,

Sehingga, semua titik yang memenuhi kondisi tersebut adalah semua titik pada parabola dengan persamaan (1/8)x².
Lalu bagaimana jika jarak titik (x, y) terhadap fokus kurang dari jarak (x, y) terhadap direktris? Bagaimana jika jarak (x, y) terhadap fokus sama dengan 5/6 dari jarak (x, y) terhadap direktris. Mungkin kita akan menebak bahwa titik-titik (x, y) tersebut akan membentuk kurva dalam keluarga irisan kerucut lainnya. Dalam hal ini, titik tersebut akan membentuk elips. Jika jarak (x, y) terhadap fokus lebih dari jarak (x, y) terhadap direktris, maka titik-titik tersebut akan membentuk hiperbola. Pada gambar a di bawah, panjang ruas garis dari fokus ke masing-masing titik pada grafik (ditunjukkan oleh ruas garis orange), sama dengan 5/6 dari panjang ruas garis dari direktris dengan titik-titik yang sama. Perhatikan bahwa titik-titik yang memenuhi kondisi seperti itu akan membentuk setengah elips. Pada gambar b, garis-garis dan titik-titik yang membentuk setengah elips digerakkan dengan kondisi yang sama sehingga membentuk suatu grafik elips secara utuh.

Persamaan Parabola

Posted on 19 Mei 2014 by yos3prens

Seperti pada elips dan hiperbola, banyak sekali aplikasi parabola yang bertumpu pada definisi analitisnya daripada bentuk aljabarnya. Aplikasi-aplikasi tersebut, misalkan pembangunan teleskop radio dan perusahaan lampu senter, menggunakan definisi analitis parabola dalam penentuan lokasi fokus dari parabola tersebut. Berikut ini definisi analitis dari suatu parabola.

Definisi Parabola
Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d₁ = d₂, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

Persamaan Parabola dalam Bentuk Fokus-Direktriks
Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke atas. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah.
Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri.

Untuk lebih memahami mengenai persamaan suatu parabola dalam bentuk fokus-direktriks, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktris dari parabola yang didefinisikan oleh persamaan x² = –12y. Kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktrisnya.
Pembahasan Karena hanya suku-x yang dikuadratkan dan tidak ada pergeseran yang diterapkan, maka parabola tersebut merupakan parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Dengan membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan umum parabola bentuk fokus-direktriks kita dapat menentukan nilai p:

Karena p = –3 (p < 0), maka parabola tersebut terbuka ke bawah, dengan titik fokus di (0, –3) dan direktriksnya y = 3. Untuk menggambar grafiknya, kita perlu beberapa titik tambahan yang dilalui oleh parabola tersebut. Karena 36 = 6² dapat dibagi oleh 12, maka kita dapat mensubstitusikan x = 6 dan x = –6, dan menghasilkan titik-titik (6, –3) dan (–6, –3). Sehingga grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat mengetahui bahwa garis x = 0 merupakan sumbu simetri dari grafik parabola yang diberikan.
Sebagai titik-titik alternatif dalam menggambar grafik parabola, kita dapat menggunakan apa yang disebut tali busur fokus dari parabola. Serupa dengan elips dan hiperbola, tali busur fokus adalah ruas garis yang melalui fokus, sejajar dengan direktriks, dan titik-titik ujungnya terletak pada grafik. Dengan menggunakan definisi dari parabola, jarak horizontal dari f ke (x, y) adalah 2p. Karena d₁ = d₂, maka ruas garis yang sejajar dengan direktriks dari fokus ke grafik memiliki panjang |2p|, dan panjang tali busur fokus dari sembarang parabola adalah |4p|.
Dan akhirnya, jika titik puncak dari suatu parabola vertikal digeser ke (h, k), maka persamaan dari parabola tersebut akan menjadi (x ± h)2 = 4p(y ± k). Seperti pada keluarga irisan kerucut lainnya, pergeseran vertikal dan horizontalnya berlawanan dengan tandanya (positif atau negatif).
Contoh 2: Menentukan Fokus dan Direktriks dari suatu Parabola
Tentukan titik puncak, fokus, dan direktriks dari persamaan parabola yang diberikan, kemudian gambarkan grafiknya, disertai dengan fokus dan direktriksnya: x² – 6x + 12y – 15 = 0.
Pembahasan Karena hanya suku-x yang dikuadratkan, maka grafik dari persamaan tersebut berbentuk parabola vertikal. Untuk menentukan kecekungan, titik puncak, fokus, dan direktriks, kita terlebih dulu melengkapkan kuadrat dalam x dan membandingkannya dengan persamaan bentuk fokus-direktriks dengan pergeseran.

Dari persamaan yang dihasilkan, kita dapat melihat bahwa grafiknya merupakan suatu parabola yang digeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan. Oleh karena itu, semua unsur dari parabola tersebut juga akan bergeser. Karena kita mendapatkan 4p = –12, maka p = –3 (p < 0) dan parabola tersebut terbuka ke bawah. Jika parabola tersebut berada pada posisi biasa, maka titik puncaknya akan di (0, 0), fokusnya di (0, –3), dan direktriksnya y = 3. Karena parabola tersebut bergeser ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2 satuan, maka kita harus menambahkan nilai x dengan 3 dan nilai y dengan 2 dari semua unsur parabola tersebut. Sehingga titik puncaknya akan berada di (0 + 3, 0 + 2) = (3, 2), fokusnya pada (0 + 3, –3 + 2) = (3, –1), dan direktriksnya adalah y = 3 + 2 = 5. Dan akhirnya, jarak horizontal antara fokus dan grafik adalah |2p| = 6 satuan (karena |4p| = 12), sehingga memberikan titik-titik tambahan yang dilalui grafik, yaitu (–3, –1) dan (9, –1).
Dalam banyak kasus, kita perlu untuk menentukan persamaan dari parabola ketika hanya beberapa informasi yang diketahui, seperti yang dicontohkan oleh contoh 3 berikut.
Contoh 3: Menentukan Persamaan dari suatu Parabola
Tentukan persamaan dari parabola yang memiliki titik puncak (4, 4) dan fokus (4, 1). Kemudian gambarkan grafiknya dengan menggunakan persamaan dan tali busur fokusnya.
Pembahasan Karena titik puncak dan fokusnya terletak pada garis vertikal, maka parabola yang dimaksud merupakan suatu parabola vertikal yang memiliki persamaan umum (x ± h)² = 4p(y ± k). Jarak p dari fokus ke titik pusat adalah 3 satuan, dan karena fokus berada di bawah titik puncak, maka grafiknya terbuka ke bawah dan p = –3. Dengan menggunakan tali busur fokus, jarak horizontal dari fokus ke grafik adalah |2p| = |2(–3)| = 6, memberikan titik-titik (–2, 1) dan (10, 1). Titik puncaknya digeser 4 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas dari (0, 0), sehingga diperoleh h = 4 dan k = 4. Sehingga persamaan dari parabola tersebut adalah (x – 4)² = –12(y – 4), dengan direktriks y = 7. Grafik dari parabola tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Perhatikan bahwa grafik parabola di atas memiliki sumbu simetri di garis x = 4.

Persamaan Hiperbola

Seperti kita ketahui, hiperbola merupakan salah satu keluarga irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, nantinya kita akan menginvestigasi bahwa cabang-cabang tersebut dan parabola merupakan kurva yang sangat berbeda.
Perhatikan bahwa persamaan Ax² + By² = F merupakan persamaan suatu lingkaran apabila A = B dan juga merupakan persamaan suatu elips jika A ≠ B. Dua kasus tersebut memuat penjumlahan suku-suku berderajat dua. Selanjutnya mungkin kita akan bertanya-tanya, bagaimana jika persamaannya berupa pengurangan suku-suku berderajat dua. Perhatikan persamaan 9x² – 16y² = 144. Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa titik pusatnya adalah titik asal (0, 0) karena tidak ada pergeseran pada variabel x dan y (a dan b keduanya adalah 0). Dengan menggunakan metode perpotongan kurva, kita dapat menggambar grafik tersebut dan menghasilkan suatu grafik hiperbola.
Contoh 1: Menggambar Grafik Hiperbola Pusat
Gambarlah grafik persamaan 9x² – 16y² = 144 dengan menggunakan perpotongan kurva dan beberapa titik tambahan jika diperlukan.
Pembahasan Dengan substitusi x = 0, kita akan menentukan perpotongan kurva tersebut dengan sumbu-y.

Karena nilai y² tidak pernah negatif, kita dapat menyimpulkan bahwa kurva tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y. Selanjutnya, kita substitusi y = 0 untuk menentukan titik potongnya terhadap sumbu-x.

Dengan mengetahui bahwa grafik tersebut tidak memiliki titik potong terhadap sumbu-y, kita pilih nilai x yang lebih dari 4 dan kurang dari –4 untuk membantu sketsa grafik tersebut. Dengan menggunakan x = 5 dan x = –5 menghasilkan,

Dengan memplot titik-titik yang telah kita temukan di atas kemudian menghubungkannya dengan kurva halus, dan karena kurva tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, maka grafik dari persamaan yang diberikan dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena hiperbola di atas memotong sumbu simetri horizontalnya, maka hiperbola di atas disebut sebagai hiperbola horizontal. Titik-titik (4, 0) dan (–4, 0) disebut sebagai titik-titik puncak, dan titik pusat dari hiperbola selalu berada di tengah-tengah titik puncak parabola tersebut. Jika titik pusat hiperbola berada pada titik (0, 0), maka hiperbola tersebut disebut sebagai hiperbola pusat. Sebagai catatan, titik pusat hiperbola bukan merupakan bagian dari kurva, sehingga titik pusat hiperbola di atas, titik yang berwarna biru, digambarkan sebagai titik yang terbuka. Garis yang melewati titik pusat dan titik-titik puncak hiperbola disebut sebagai sumbu transversal, sedangkan garis yang melalui titik pusat dan tegak lurus dengan sumbu transversal ini disebut sebagai sumbu konjugasi.
Pada contoh 1, koefisien dari x² merupakan bilangan yang positif kemudian dikurangkan dengan 16y²: 9x² – 16y² = 144. Hasil yang diperoleh merupakan hiperbola horizontal. Jika suku-y² positif kemudian dikurangkan dengan suku yang memuat x², hasilnya merupakan suatu hiperbola vertikal. Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Persamaan Elips

Posted on 14 Desember 2013 by yos3prens

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r². Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r², kita akan memperoleh

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusi y = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)² = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

• Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.
• Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.